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¿Qué es el infinito?

El Hotel de Hilbert

Publicado el: 2003-01-09

    

Qué es el infinito?¿El número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo? Felizmente, ni el uno ni el otro...

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¿Qué es el infinito?

El Hotel de Hilbert


¿Qué es el infinito?¿El número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo? Felizmente, ni el uno ni el otro. Aun la cantidad de átomos en el universo es tan poco infinita que da lástima. En realidad, semejante cifra no está más cerca del infinito que otras más modestas como 2, 15 ó 3.089.
¿Y entonces? Para encontrarnos con conjuntos que ningún número pueda contar, debemos recurrir al mundo de las matemáticas. Pero no necesitamos adentrarnos demasiado en él: los números naturales (1, 2, 3, 4, 5...) o los puntos de una recta, son infinitos, terriblemente infinitos. Y cuando uno se enfrenta con conjuntos infinitos, enseguida encuentra que funcionan de manera peculiar, para decirlo suavemente.
El gran matemático David Hilbert ponía como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones y un viajero que llega durante una noche de tormenta y ve en la puerta el cartel que dice ?completo?. En un hotel finito, la temible palabra sumaría en la desesperación (el hotel de Hilbert queda a cientos de kilómetros de cualquier otro lugar civilizado, en medio de un páramo, rodeado de ciénagas espantosas, habitadas por caníbales), pero en este caso nuestro viajero pide tranquilamente un cuarto. El conserje no se inmuta (en realidad ni siquiera se sorprende). Levanta el teléfono y da una orden general: que el ocupante de la habitación uno se mude a la habitación dos, el de la habitación dos a la habitación tres, el de la tres a la cuatro y así sucesivamente. Mediante esta sencilla operación, la habitación uno queda vacía, lista para el nuevo huésped; todos los ocupantes del hotel tienen, como antes, una habitación, y el hotel seguirá, también como antes, completo. Ahora supongamos que en vez de llegar un solo viajero, llegaran infinitos. El conserje, esta vez, indicaría al ocupante de la habitación uno, que se mudara a la dos, al de la dos, a la cuatro, al de la tres, a la seis; y otra vez lograría acomodar a la multitud recién venida en las habitaciones impares, que quedarían todas vacía. Y si el dueño del hotel decidiera clausurar la mitad de las habitaciones, no por eso la cantidad de cuartos cambiaría. Sería la misma, y tan infinita como antes.
El particular comportamiento del hotel de Hilbert es apenas una pequeña anomalía que se presenta al operar con el infinito. Hay más.
Fue el matemático Georg Cantor (1845-1918) quien consiguió domesticar al infinito y descubrió una manera rigurosa y precisa de tratarlo. Cantor introdujo los números transfinitos (que se designan con la letra hebrea Aleph) y que son capaces de medir conjuntos infinitos. Así, Aleph cero mide el infinito de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5... etc.). Pero lo interesante es que, cuando uno quiere medir la cantidad de números pares se encuentra con que también es Aleph cero. ¿Y si agregamos los números enteros negativos? ¡Aleph cero otra vez!¿Y las fracciones? Pues señor, hay también Aleph cero fracciones. O sea que hay tantos números naturales como números pares, como fracciones (y como habitaciones en el hotel Hilbert). La misma cantidad. Todos ellos son conjuntos numerables, como se llaman aquellos medidos por Aleph cero, el menor y más hogareño de los infinitos.
Porque los infinitos no son todos iguales. Probablemente sea ésta la más estrepitosa sorpresa de las muchas y muy razonables que salieron de la galera de Georg Cantor. La cantidad de puntos de una recta es mayor que la cantidad de números naturales o fracciones, y el número transfinito que los mide es más grande que Aleph cero: familiarmente se lo llama ?c?, la potencia del continuo. Los puntos de una recta, las rectas de un plano, los números irracionales, tienen la potencia del continuo. Si al hotel de Hilbert, que tiene Aleph cero habitaciones, llegaran ?c? viajeros, no habría manera de ubicarlos; aunque el hotel estuviera vacío las habitaciones no alcanzarían. Esta distribución jerárquica de los infinitos, que tanto (y tan comprensiblemente) sorprendió a los colegas de Cantor, no termina con Aleph Cero o ?c?. Existen más infinitos, cada vez más grandes que excitan la fantasía y el misterio. En ?El libro de arena?, Jorge Luis Borges imaginó un libro de infinitas páginas infinitamente delgadas. ?El manejo de este vademécum sedoso no sería cómodo: cada hoja aparente se desdoblaría en otras análogas; la inconcebible hoja central no tendría revés?.

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